交換群 S_5 的表示

交換群 S3、S4 的 irreducible representation 分別可以用正三角形、正四面體來表示。
雖然要寫下 S4 變換的 3 x 3 的矩陣是不容易，但是要做也不是不行。

S5 就很很複雜了。有四維的 irreducible representation 應該是沒有疑問的，但是畫不出來。
猜想所有的 representation 是

5! = 120 = 2 x 1^2 + 2^2 + 2 x 3^3 + 4 x 4^2

後來某人對我開示，其實四維的圖像也是可以想像出來的。
先從 S2 是兩個點取中點然後畫線畫出正三角形 (S3)
從三角形重心拉出第三維可以畫出正四面體 (S4)
理論上，從正四面體的中心拉出第四維可以畫出四維空間下某種五個頂點的高維體 (S5)

是說我也不知道怎麼證明它是 irreducible。